Question

Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями y=1/1+x2 и параболой y=x2/2.

Answer 1

1/(1+x^2)=x^2/2

(2-x^4-x^2)/(2(1+x^2))

x^4+x^2-2=0

x1=-2

x2=1

∫1/(x^2+1)dx-∫x^2dx/2=arctgx-x^3/6

 

arctg(1)-arctg(-2)-[1/6+8/6]=П/4+arctg2-1,5

S~П/4+1,107П-1,5~2,763

Answer 2

Найдем сначала точки пересечения линий второго порядка

Приравняем правые части уравнений

y =1/(x^2+1)      y=x^2/2

1/(1+x^2)=x^2/2

Так как  1+x^2 не равно нулю умножим обе части уравнения на 2(1+x^2) 

2 =(1+x^2)*x^2

 х^4+x^2-2 =0

Сделаем замену переменных   z=x^2

z^2+z-2=0

D =1+8=9

z1=(-1-3)/2=-2 (ответ не подходит так как x^2>0)

z2 =(-1+3)/2=1

x^2=1    x1=-1    x2=1

 

 Получили два предела интегрирования от -1 до 1

  

интеграл I от -1 до 1I (1/(x^2+1)-(1/2)x^2)dx =(arctgx-(1/6)x^3 Iот -1 до1I=

 = arctg(1)-1/6 -(arctg(-1)-(-1)^3/6) = пи/4-1/6+пи/4 -1/6 =пи/2=1,57

 

S=П/2~1,57