Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найти объем пирамиды.

Answer 1

Объем пирамиды

$V=frac{1}{3}S_{ABC}H$

 

Т.к. ∆АВС - правильный, то его площадь

$S_{ABC}=frac{AB^2sqrt3}{4}=frac{6^2sqrt3}{4}=9sqrt3$

 

Основание О высоты МО правильной пирамиды - центр описанной и вписанной окружностей. В правильном  ∆СКВ СК - медиана, биссекториса, высота.

В  ∆СКВ  КВ=3, ∠СВК=60°, СК = СВsin60°=6·√3/2=3√3

 

О - точка пересечения медиан ∆АВС, СО=2СК/3=2√3

 

Высота МО⊥(АВС), тогда МО⊥CO. ∆МОС - прямоугольный и ∠МСО=45°, значит и ∠СМО=45°. Значит, ∆МОС - равнобедренный, тогда СО=МО =2√3.

 

Таким образом, 

$V=frac{1}{3}S_{ABC}H=frac{1}{3}*9sqrt3*2sqrt3=18$