Question

tg(a)+tg(b)+tg(a)*tg(b)=1
Докажите пожалуйста это тождество
При этом:
$a+b=pi /4 , a>0 , b>4$

 

(а)- обазночение угла альфа

(b)- обазночение угла бетта

Answer 1

$tgA+tgB+tgAtgB=frac{sin(A+B)}{cosAcosB}+frac{sinAsinB}{cosAcosB}= \ =frac{sin(A+B)+sinAsinB}{cosAcosB}= \ =frac{sin(A+B)+frac{1}{2}(cos(A-B)-cos(A+B))}{frac{1}{2}(cos(A+B)+cos(A-B))}= \ =frac{sinfrac{pi}{4}+frac{1}{2}(cos(A-B)-cosfrac{pi}{4})}{frac{1}{2}(cosfrac{pi}{4}+cos(A-B))}= \ =frac{frac{sqrt{2}}{2}+frac{1}{2}(cos(A-B)-frac{sqrt{2}}{2})}{frac{1}{2}(frac{sqrt{2}}{2}+cos(A-B))}=$

$\ =frac{frac{sqrt{2}}{2}+frac{1}{2}cos(A-B)-frac{sqrt{2}}{4}}{frac{sqrt{2}}{4}+frac{1}{2}cos(A-B)}= \ =frac{frac{sqrt{2}}{4}+frac{1}{2}cos(A-B)}{frac{sqrt{2}}{4}+frac{1}{2}cos(A-B)}=1$