Question

Найти собственные числа матрицы квадратичной формы Ф (х, у,z) = - x^2 + 2y^2 + 2yz + 2z^2

Answer 1

Матрица квадратичной формы имеет вид

$A_{3x3=}=left[begin{array}{ccc}-1&0&0\0&2&1\0&1&2end{array}right]$

Пусть β - собственное число. Тогда |A-βE|=0

$left[begin{array}{ccc}-1&0&0\0&2&1\0&1&2end{array}right]-beta left[begin{array}{ccc}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{array}right]=0 \ left[begin{array}{ccc}-1-beta&0&0\0&2-beta&1\0&1&2-betaend{array}right]=0$

$(1-beta) left[begin{array}{ccc}2-beta&1\1&2-betaend{array}right]=0$

$(-1-beta)((2-beta)^2-1)=0 \ (beta +1)(beta-1)(beta -3)=0 \ beta _1=-1, beta _2=1, beta _3=3$