Question

1) При каких значениях параметра уравнение $(sinx-1)/(sinx-2)+(2-sinx)/(sinx-3)+a=0$ не имеет решений
 2) При каких значениях параметра уравнение $sin^2x+asinx-a^2+1=0$ имеет решения?

Answer 1

1)

$frac{sinx-1}{sinx-2}+frac{2-sinx}{sinx-3}+a=0$

$(sinx-1)(sinx-3)+(2-sinx)(sinx-2)+a(sinx-2)(sinx-3)=0$

$sin^2x-4sinx+3-(4-sin^2x)+a(sin^2x-5sinx+6)=0$

$sin^2x-4sinx+3-4+sin^2x+asin^2x-5asinx+6a=0$

$(a+2)sin^2x-(5a+4)sinx+3+6a=0$

Сделаем замену:

$six=t$

Получаем квадратное уравнение относительно t:

$(a+2)t^2-(5a+4)t+3+6a=0$

$D=(5a+4)^2-4(a+2)(3+6a)=25a^2+40a+16-4(6a^2+15a+6)=25a^2+40a+16-24a^2-60a-24=a^2-20a-8$

Так как данное уравнение не должно иметь решений дискриминант должен быть отрицательным:

$a^2-20a-8<0$

$(a-frac{20+12sqrt{3}}{2})(a-frac{20-12sqrt{3}}{2})<0$

Получаем a∈$(frac{20+12sqrt{3}}{2};frac{20-12sqrt{3}}{2})$

Ответ: a∈$(10+6sqrt{3};10-6sqrt{3})$

2)

$sin^2x+asinx+a^2-1=0$

Сделаем замену:

$six=t$

Получаем квадратное уравнение относительно t:

$t^2+at+a^2-1=0$

$D=a^2-4(a^2-1)=-3a^2+4$

Чтобы данное уравнение имело решения необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля, или равен нулю получаем:

$-3a^2+4geq0$

$(a-frac{2}{sqrt{3}})(a+frac{2}{sqrt{3}})geq0$

Получаем a∈$(-frac{2}{sqrt{3}};frac{2}{sqrt{3}})$

Ответ:a∈$(-frac{2}{sqrt{3}};frac{2}{sqrt{3}})$