Question

Для функции $f(x)=frac{3}{5+3x}$ найдите первообразную на промежутке ($-frac{5}{3}$; +$infty$)

Answer 1

f(x)=3/(5+3x)
F(x)=F(3/(5+3x))=3F(1/(5+3x))=3*1/3 * ln|5+3x| + C = ln|5+3x|+C
Так как x = (-5/3;+беск), то |5+3x|=5+3x

=> F(x)=ln(5+3x)+C 

Answer 2

Для начала найдем первообразную функции на всей числовой прямой:

$int{frac{3}{5+3x}}, dx=ln|5+3x|+C$

 Знак модуля ставится ввиду того, что производная  от модуля существует как в отрицательном значении,  так и положительном, но так как задан промежуток интегрирования, на котором интегрируема функция получаем:

$5+3x=0$

$x=-frac53$

Получаем, что в данном промежутке произвадная существует только при положительном значении модуля, поэтому получаем:

$int{frac{3}{5+3x}}, dx=ln|5+3x|+C=ln(5+3x)+C$