Question

$sqrt{x} + sqrt{x-4}=sqrt{a}$ - найти наименшее значение а при котором уравнение имеет ровно 2 корня

Answer 1

Запомнив, что $age xge4$ перепишем уравнение как

$sqrt{x-4}=sqrt{a}-sqrt{x}$

и возведем в квадрат:

$x-4=a+x-2sqrt{ax}\ 2sqrt{ax}=a+4\ 4ax=(a+4)^2\ x=dfrac{(a+4)^2}{4a}$

Последний переход справедлив, так как a!=0.

Проверим условие a>=x:

$dfrac{(a+4)^2}{4a}le a\ 4a^2ge(a+4)^2\ 2age a+4$

Неравенство, как и следовало ожидать, выполняется при всех a>=4.

 

Итак, уравнение имеет ровно 1 корень при a>=4, равный (a+4)^2/4a. 

 

Ответ. Такого а не существует.