Question

Помогите пожалуйста. желательно на листочке и подробно. Тк надо не тупо списать, а разобраться. 100баллов. Прошу. помогите

Answer 1

а)
Признак скрещивающихся прямых:
Прямые скрещиваются, если одна из этих прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает данную плоскость в точке, не лежащей на первой прямой.
AB лежит в плоскости (ABC), СD пересекает (ABC) в точке С (D не лежит в плоскости (ABC)). Отсюда прямые, содержащие AB и CD, скрещиваются.

б)
Для начала докажем, что MN ⊥ AB:
Так как AD=DC=AC=a, то AN - медиана равностороннего треугольника. Отсюда:
$AN={sqrt3over2}a$
Аналогично из треугольника BCD и медианы BN:
$MN={sqrt3over2}a$
Значит треугольник ANB - равнобедренный. NM - медиана, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на основание. Значит NM - высота треугольника ANB. Отсюда AB⊥NM
Аналогично доказывается, что
$CM=DM={sqrt3over2}a$
и MN - медиана равнобедренного треугольника CMD.
Значит MN⊥CD
Что и требовалось доказать.

в)
Мы уже пришли к тому, что
$CM=MD={sqrt3over2}a$
Также CD = a
$CN={CDover2}={aover2}\angle CNM=90^circRightarrow NM^2+CN^2=CM^2\NM^2={3over4}a-{1over4}a={1over2}a\NM={aoversqrt2}$

г)
CM и DM - перпендикуляры к AB, лежащие в плоскостях (ABC) и (ABD) соответственно. Значит надо найти ∠DMC (его величина равна величине двугранного угла при AB)
Мы уже знаем длины сторон треугольника CMD, поэтому можно воспользоваться теоремой косинусов:
$CD^2=CM^2+DM^2-2CM*DM*cos(angle DMC)\CD=a,,CM=DM={sqrt3over2}a\\a^2={3over4}a^2+{3over4}a^2-{6over4}a^2cos(angle DMC)\{2over3}=1-cos(angle DMC)\angle DMC=arccos({1over 3})approx70.53^circ$