Question

Решить неравенство

$frac{2x+3}{x-4}+frac{1}{x-2} leq -frac{5}{3}+frac{1}{x-2}$

Answer 1

$frac{2x+3}{x-4} + frac{1}{x-2} leq - frac{5}{3} + frac{1}{x-2}$
$frac{2x+3}{x-4} + frac{5}{3} + frac{1}{x-2} - frac{1}{x-2} leq 0$
$frac{3(2x+3)}{3(x-4)} + frac{5(x-4)}{3(x-4)} leq 0$
$x neq 2$
$x neq 4$
$frac{6x+9+5x-20}{3(x-4)} leq 0$
$frac{11x-11}{3(x-4)} leq 0$
$frac{11(x-1)}{3(x-4)} leq 0$
Числа 11 и 3 можно отбросить (на множество решений это не влияет)
$frac{x-1}{x-4} leq 0$ 
Дробь принимает отрицательные значения если числитель и знаменатель имеют разные знаки. 
Для решения такого неравенства удобно использовать метод интервалов. 
Для этого отметим на числовой прямой нули числителя и знаменателя, числа 1 и 4 .
Но точку 4 необходимо выколоть, тк при х=4 знаменатель равен нулю, а х=1 входит в множество решений неравенства тк неравенство не строгое.
Теперь необходимо найти промежутки знаков постоянства. 
Для чисел (4; +∞) дробь принимает положительные значения. (проверьте это для любого числа из этого множества)
Для чисел (1;4) дробь принимает отрицательные значения 
Для чисел (-∞;1) дробь больше нуля.

Ответ :  $x$ ∈ [1;2) U (2;4)