Question

Основою піраміди є правильний трикутник. Радіус кола, вписаного в основу, дорівнює 3 см. Бічні грані піраміди нахилені до площини основи п|д кутом 30º.Обчислити об’єм піраміди.

Answer 1

Радиус вписанной окружности OE

$r=frac{sqrt3}6AB\ AB=rcdotfrac6{sqrt3}=frac6{sqrt3}cdot3=6sqrt3$

Радиус описнной окружности OF

$R=frac{sqrt3}3cdot AB=frac{sqrt3}3cdot6sqrt3=6$

Площадь ABC

$S_{ABC}=3sqrt3cdot r^2=3sqrt3cdot9=27sqrt3$

Опустим высоту пирамиды DO из вешины D на основание ABC. 

Пирамиды правильная, значит высота опустится в центр треугольника ABC . Точка O совпадёт с цетрами вписанной и описанной окружностей.

Рассмотрим треугольник ADO. Он прямоугольный (DO перпендикулярно AO).

По определению тангенса

$tg(widehat{DAO})=frac{DO}{AO}\ DO=tg(widehat{DAO})cdot AO=tg30^ocdot6=frac1{sqrt3}cdot6=2sqrt3$

Тогда объём пирамиды

$V=frac13Sh=frac13Scdot DO=frac13cdot27sqrt3cdot2sqrt3=18cdot3=54$