Question

1) Множество решений неравенства: $frac{3}{4- x^{2} } geq frac{1}{4}$
Варианты ответов: A) (-√8;-2]U{2;√8) B) (-∞;-2)U(-2;2)U(2;∞) C) (-∞;√8]U[√8;∞) D) (-2;2) E) [-2;2]
2) Если а=$frac{1}{ sqrt{3} } - frac{1}{ sqrt{8} }$ и b= $frac{1}{ sqrt{3} } + frac{1}{ sqrt{8} }$ , то выражение а³+b³/(a+b)³ равно: Варианты ответов: A) 17/32 B) 37/32 C) 47/32 D) -27/32
3) Все корни уравнения |x-7|-|x+2|=9 образуют множество: Варианты ответов: A)∅ B) {-2} C) (-∞;-2]U[7;∞) D) (-∞;∞) E) (-∞;-2]

Answer 1

1) $frac{3}{4-x^2} geq frac{1}{4}$
$frac{3}{4-x^2} - frac{1}{4} geq 0$
$frac{12-(4-x^2)}{4(4-x^2)} geq 0$
$frac{8+x^2}{4(2-x)(2+x)} geq 0$
Числитель и число 4 в знаменателе больше 0 при любом x, поэтому на них можно разделить, все зависит только от скобок в знаменателе:
$frac{1}{(2-x)(2+x)} geq 0$
По методу интервалов:
x ∈ (-2; 2)
Ответ: D) (-2; 2)

2) $frac{a^3+b^3}{(a+b)^3} = frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+b)^3} =frac{a^2-ab+b^2}{(a+b)^2}$
Нам дано: $a= frac{1}{ sqrt{3} } - frac{1}{ sqrt{8} } ; b=frac{1}{ sqrt{3} } + frac{1}{ sqrt{8} }$
Отсюда: $a+b=frac{1}{ sqrt{3} } - frac{1}{ sqrt{8} }+frac{1}{ sqrt{3} } + frac{1}{ sqrt{8} }=frac{2}{ sqrt{3} }$
$a^2=(frac{1}{ sqrt{3} }-frac{1}{ sqrt{8} })^2= frac{1}{3}- frac{2}{ sqrt{3*8} }+ frac{1}{8}= frac{11}{24} - frac{2}{2 sqrt{6} }= frac{11}{24} - frac{ sqrt{6} }{6}$
$b^2=(frac{1}{ sqrt{3} }+frac{1}{ sqrt{8} })^2= frac{1}{3}+ frac{2}{ sqrt{3*8} }+ frac{1}{8}= frac{11}{24} + frac{2}{2 sqrt{6} }= frac{11}{24} + frac{ sqrt{6} }{6}$
$ab=(frac{1}{ sqrt{3} }-frac{1}{ sqrt{8} })(frac{1}{ sqrt{3} }+frac{1}{ sqrt{8} })= frac{1}{3} - frac{1}{8} = frac{5}{24}$
Подставляем всё это
$frac{a^3+b^3}{(a+b)^3} =frac{a^2-ab+b^2}{(a+b)^2}=(frac{11}{24} - frac{ sqrt{6} }{6}- frac{5}{24} +frac{11}{24} + frac{ sqrt{6} }{6}):(frac{2}{ sqrt{3} })^2= frac{17}{24} : frac{4}{3} = frac{17}{32}$
Ответ: A) 17/32

3) |x - 7| - |x + 2| = 9
При x < -2 будет |x - 7| = 7 - x; |x + 2| = -x - 2
7 - x - (-x - 2) = 7 - x + x + 2 = 9
9 = 9 - это истинно для любого x ∈ (-oo; -2)
При -2 <= x < 7 будет |x - 7| = 7 - x; |x + 2| = x + 2
7 - x - (x + 2) = 7 - x - x - 2 = 5 - 2x = 9
-2x = 4; x = -2 - подходит
При x >= 7 будет |x - 7| = x - 7; |x + 2| = x + 2
x - 7 - (x + 2) = x - 7 - x - 2  = 9
-9 = 9
Решений нет
Ответ: Е) (-oo; 2]