Question

Геометр поставил на окружности несколько точек. Затем он измерил все расстояния между этими точками. Получилось не более 30 различных чисел. Какое наибольшее количество точек он мог поставить?

Answer 1

Рассмотрим одну из отмеченных точек.На определённом расстоянии r от неё может быть не более двух точек, т.к. каждая такая точка лежит на двух окружностях: на исходной и на окружности с центром в выбранной точке и радиусом r, - а две окружности пересекаются не более чем в двух точках. Так как всего расстояний не более 30, то точек, не считая выбранной, не более 60, а всего не более 61. 
Если точки стоят в вершинах правильного 61-угольника, то расстояний 30, а больше точек не может быть по доказанному. 
Значит, наибольшее количество точек равно 61.