Question

Помогите, пожалуйста, найти интеграл

Answer 1

Этот интеграл можно вычислять по-разному. Скажем, можно выделить полный квадрат. А можно подынтегральную функцию разложить на две более простые. Применю второй способ. Он поможет проиллюстрировать возможность разложения на элементарные дроби без неопределенных коэффициентов.

Докажем, что 

$frac{1}{a(a+k)}=frac{1}{k}(frac{1}{a}-frac{1}{a+k})$

Доказывается она, конечно, элементарно. Моя задача научить писать ее, не подглядывая в шпаргалку. Имеем:

$frac{1}{a(a+k)}=frac{1}{k}frac{(a+k)-a}{a(a+k)}= frac{1}{k}(frac{a+k}{a(a+k)}-frac{a}{a(a+k)})=frac{1}{k}(frac{1}{a}-frac{1}{a+k}).$

Переходим к вычислению интеграла:

$intfrac{dx}{x^2+3x-10}=intfrac{dx}{(x-2)(x+5)}$.

В подынтегральной функции роль a исполняет (x-2), а роль (a+k) исполняет (x+5); тем самым k=7;

$frac{1}{(x-2)(x+5)}=frac{1}{7}(frac{1}{x-2}-frac{1}{x+5});$

поэтому получаем сумму двух интегралов

$frac{1}{7}(intfrac{dx}{x-2} - intfrac{dx}{x+5})= frac{1}{7}(intfrac{d(x-2)}{x-2} - intfrac{d(x+5)}{x+5})=$ 

$frac{1}{7}(ln|x-2|-ln|x+5|)+C=frac{1}{7}lnleft|frac{x-2}{x+5}right|+C$