Question

Через середину К медианы ВМ треугольника АВСD и вершину А проведена прямая,пересекающая сторону ВС в точке Р.Найдите отношения площади треугольника ВКР к площади треугольника АМК.

Answer 1

1. Найдем отношение ВР к СР;

Через вершину В проводим прямую параллельную  АС.

АР продлеваем за точку Р до пересечения с прямой в точке Е. 

=> ВЕ параллельно AC; 

Треугольники ЕВК и АКМ подобны, следовательно:

ЕВ относится к АМ как ВК относится к КМ;

 

2)  ВК/КМ=1, и ЕВ=АМ; ( треугольники равны). 

Отсюда следует:  ЕВ = АС/2; 

Треугольники ЕВР и АСР подобны

=> ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;

итак СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР

S ACP= S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).

т.к S треугольника ВАМ=1/2 S АВС,

а S АКМ=1/2 S АВМ, то 

S AKM = S/4;

Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна

S KPCM = S ACP - S AKM = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;

Ответ 12/5;