Question

Вычислите значение производной функции f(x) в данной точке: f(x)=5^x/x^2+1 , f'(x)
Номер 247

Answer 1

1)
$f(x)= frac{5^x}{x^2+1}$
$f'(x)= frac{5^x*ln5*(x^2+1)-5^x*2x}{(x^2+1)^2} =frac{5^x*(x^2*ln5+ln 5-2x)}{(x^2+1)^2}$
$f'(1)=frac{5^1*(1^2*ln5+ln 5-2)}{(1^2+1)^2}= frac{5*(2ln5-2)}{4} = frac{10(ln5-1)}{4}= frac{5(ln5-1)}{2}$

2)
$f(x)= frac{lnx}{x^3} =lnx*x^{-3}$
$f'(x)= frac{x^{-3}}{x} -3lnx*x^{-4}= frac{1-3ln x}{x^4}$
$f'(e)= frac{1-3lne}{e^4}= frac{-2}{e^4}=-2e^{-4}$

3)
$f(x)=e^{-x^2}$
$f'(x)=-2xe^{-x^2}$
$f'( frac{1}{ sqrt{2} } )=frac{-2}{ sqrt{2} }e^{-(frac{1}{ sqrt{2} })^2}=- sqrt{2} e^{- frac{1}{2} }=- sqrt{frac{2}{e} }$