Question

Составить уравнения прямой l, проходящей через точку M(2;4;1) и пересекающей прямую m; $frac{x-1}{5} = frac{y-1}{-1} = frac{z-2}{2}$ под прямым углом

Answer 1

Точка N(1;1;2) лежит на прямой m; вектор a(5;-1;2) параллелен прямой m. В качестве направляющего вектора прямой l возьмем вектор MN+ta,
подобрав t таким образом, чтобы получившийся вектор перпендикулярен a, то есть чтобы скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.  

MN=(1-2;1-4;2-1)=( - 1; - 3; 1);

(MN+ta;a)=0; (MN;a)+t(a;a)=0; (-1)5+(-3)(-1)+2+(5^2+(-1)^2+2^2)t=0;
-5+3+2+30t=0; t=0.
Таким образом, задача сформулирована так, что сам вектор MN перпендикулярен прямой m. Тем проще. Остается написать канонические уравнения прямой l, как прямой, проходящей через точку M и перпендикулярной вектору MN (хотя, если честно, я больше люблю параметрические уравнения...):

$frac{x-2}{-1}=frac{y-4}{-3}=frac{z-1}{1}$