Question

5+2sin2x-5cosx=5sinx

Answer 1

$5+2sin 2x-5cos x=5sin x\ 5(sin ^2 x+cos^2x)+2sin 2x-5(cos x+sin x)=0 \ 5(sin^2x+sin2x+cos^2x-sin 2x)-5(cos x+sin x)+2sin 2x=0\ 5(sin x+cos x)^2-5(sin x+cos x)-3sin2x=0$

Пусть $sin x+cos x=t$, причем $|t| leq sqrt{2}$ возведем обе части в квадрат:
 $(sin x+cos x)^2=t^2$ отсюда: $sin 2x=t^2-1$

Заменим:
$5t^2-5t-3(t^2-1)=0\ 5t^2-5t-3t^2+3=0\ 2t^2-5t+3=0$
Вычислим дискриминант квадратного корня:
$D=b^2-4ac=(-5)^2-4cdot2cdot3=25-24=1$
$D textgreater 0$, значит квадратное уравнения имеет 2 корня:
$t_1= dfrac{-b+ sqrt{D} }{2a} = dfrac{5+1}{2cdot2} = dfrac{3}{2}$ - не принадлежит условию.
$t_2= dfrac{-b- sqrt{D} }{2a} = dfrac{5-1}{2cdot2} =1$

Обратная замена:
$sin x+cos x=1$
Воспользуемся формулой: $asin xpm bcos x= sqrt{a^2+b^2}sin(xpm arcsin frac{b}{ sqrt{a^2+b^2} } )$
В данном случае:
$sqrt{1^2+1^2} sin(x+arcsin frac{1}{ sqrt{1^2+1^2} } )=1\ sin(x+ frac{pi}{4} )= frac{1}{ sqrt{2} } \ \ x=(-1)^kcdot frac{pi}{4}-frac{pi}{4}+pi k ,k in mathbb{Z}$