Question

1. ABCDA1B1C1D1-куб. M-середина CD. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки A,B1, и M, если ребро куба равно 8 см.
2. Треугольник ABC-равносторонний со стороной 8 см, а BCDE-параллелограмм, CBE=60°, CD=10 см. Найдите косинус угла между плоскостями треугольника ABC и параллелограммом BCDE, если расстояние от точки A до прямой DE=√33 см.
3. Точка A (-3;4;6). Точка B-основание перпендикуляра AB, проведённого к оси Oz. C-основание перпендикуляра AC к плоскости xOy. Найдите сумму расстояний AB и AC.

Answer 1

Задачу можно очень сильно упростить. Точка К - центр грани А1B1C1D1 - принадлежит прямым B1D1 и A1C1, то есть - обеим плоскостям. Точно так же центр грани ABB1A1 - точка М принадлежит A1B и B1A, то есть опять таки обеим плоскостям. Таким образом КМ - линия пересечения плоскостей. Треугольники А1КМ и В1КМ - равносторонние. Если считать, что их сторона равна 1, то ребро куба равно √2, а высота треугольника А1КМ (и В1КМ - тоже) равна √3/2;То есть если обозначить косинус угла между перпендикулярами к КМ из точек A1 и В1 как х, то по теореме косинусов(√2)^2 = (√3/2)^2 + (√3/2)^2 - 2*(√3/2)*(√3/2)*x; x = -1/3; Конечно, знак тут никакой роли не играет, просто выбранный для вычисления треугольник - тупоугольный. Дополнительный к нему угол имеет косинус 1/3; это просто вопрос выбора. На самом деле, самое простое решение этой задачи получается, если применить координатный метод. Пусть Р - середина А1В1. Пусть начало координат лежит в ней, ось Z проходит через точку М, Х - через точку К, Y - через точки А1 и В1.Здесь я принимаю ребро куба равным 2, то есть РА1 = РВ1 = РК = РМ = 1; Плоскость ВА1С1 - то есть плоскость А1КМ проходит через точки К = (1,0,0);  А1 = (0,-1,0); М = (0,0,-1); уравнение такой плоскости x - y - z = 1; (можете проверить, что все три точки удовлетворяют этому уравнению)Отсюда нормальный вектор к этой плоскости q = (1,-1,-1);модуль этого вектора равен √3Плоскость АВ1С1 - то есть плоскость В1КМ проходит через точки К = (1,0,0);  В1 = (0,1,0); М = (0,0,-1); уравнение такой плоскости x + y - z = 1;Отсюда нормальный вектор к этой плоскости l = (1, 1,-1);модуль этого вектора тоже равен √3;осталось вычислить угол между нормальными векторами (равный, очевидно, углу между плоскостями), для чего надо их скалярно перемножить и разделить на модули. Скалярное произведение равно ql = 1 - 1 + 1 = 1; а произведение модулей равно 3, откуда косинус угла равен 1/3.Видно, что тут ответ получается сам собой. Но большое преимущество такого метода в том, что им легко получать углы между плоскостями и в более сложных случаях, когда применение простых геометрических методов затруднительно.