Question

(a+1)x^2-(5a+4)x+4a+3=0

Answer 1

$(a+1)x^2-(5a+4)x+(4a+3)=0\\left[begin{array}{ccc}a=a+1\b=-(5a+4)\c=4a+3end{array}right\\D=b^2-4ac=(5a+4)^2-4(a+1)(4a+3)=\25a^2+40a+16-16a^2-28a-12=9a^2+12a+4=(3a+2)^2$

$D=(3a+2)^2toleft[begin{array}{ccc}D textless 0\D=0\D textgreater 0end{array}righttoleft[begin{array}{ccc}(3a+2)^2 textless 0\(3a+2)^2=0\(3a+2)^2 textgreater 0end{array}righttoleft[begin{array}{ccc}a textless -frac{2}{3}\a=-frac{2}{3}\a textgreater -frac{2}{3}end{array}right$

итак, мы имеем 3 ответа: 
ответ₁: если $a textless -frac{2}{3}$, то уравнение не имеет корней; 
ответ₂: если $a=-frac{2}{3}$, то уравнение имеет 1 корень; 
ответ₃: если $a textgreater -frac{2}{3}$, то уравнение имеет 2 корня. 

Пояснение ко второму ответу: 
$x=frac{-b}{2a}=frac{5a+4}{2a+2}$

Пояснение к третьему ответу: 
$left[begin{array}{ccc}x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{5a+4+|3a+2|}{2a+2}=frac{5a+4+3a+2}{2a+2}=frac{4a+3}{a+1}\x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{5a+4-|3a+2|}{2a+2}=frac{5a+4-3a-2}{2a+2}=1end{array}right$