Question

Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1-ромб с углом A, равным 120 градусов, и стороной равной 4. Найти высоту призмы, если угол между плоскостями ADC1 и ABC=60 Градусов!!! Помогите, добрые люди, прошу!!!

Answer 1

ABCD - ромб. Угол А = углу С. АС - диагональ ромба и биссекриса углов А и С (свойство диагоналей ромба).

Рассмотрим треугольник ABC. Угол САВ = углу АСВ = 120/2 = 60 градусов, угол АВС = 180-60-60 = 60 градусов. Значит, треугольник АВС - равносторонний и АС = 4.

Треугольник АСС1 прямоугольный (угол АСС1 прямой, т.к. призма прямая). Угол САС1 = 60 градусов по условию.

Далее 2 варианта решения:

1 вариант

Из определения косинуса

$cos{CAC_1}=frac{AC}{AC_1}\ cos60^o=frac{4}{AC_1}\ frac12=frac4{AC_1}\ AC_1=8$

По т.Пифагора из треугольника ACC1 найдём высоту призмы:

$CC_1=sqrt{AC_1^2-AC^2}=sqrt{8^2-4^2}=sqrt{64-16}=sqrt{48}=4sqrt3$

2 вариант

Из определения котангенса

$ctgCAC_1=frac{AC}{CC_1}\ ctg60^o=frac4{CC_1}\ frac1{sqrt3}=frac4{CC_1}\ CC_1=4sqrt3$

 

Выбирайте любой понравившийся вариант =)