Question

Площадь треугольника ABC равна 198. Биссектриса AL пересекает медиану BM в точке K. Найдите площадь четырехугольника MCLK, если известно, что BL:CL=7:4.

Answer 1

 Просто постройте какой-то треугольник и проведите в нем биссектрису угла А и медиану к стороне АС. 

Смотрите, как это решается.

Если площадь АВС равна S (по условию это 198, потом подставим), то площадь АВM равна S/2. 

Sabm = S/2

(Если у двух треугольников общая высота - в данном случае это растояние от В до АС, то отношение площадей равно отношению сторон, к которым эта высота проведена - это будет использовано еще несколько раз)

Далее, CL/BL = 4/7 = AC/AB, и АМ = АС/2, поэтому АМ/AB = 2/7, но это означает, что MK/KB = 2/7;

То есть МК/BM = 2/(2 + 7) = 2/9 и KB/BM = 7/9 (ясно, что в сумме 1 и отношение 2/7)

Но это означает, что площадь АМK составляет 2/9 площади АВМ (высота общая, расстояние от А до ВМ, стороны относятся как МК/BM = 2/9)

Samk = Sabm*2/9 = S/9;

Ну, и CL/BL = 4/7, поэтому CL/CB = 4/(4 + 7) = 4/11;

то есть площадь треугольника ACL соствляет 4/11 площади АВС (тот же прием - высота общая - это расстояние от А до ВС, стороны относятся как 4/11).

Sacl = S*4/11;

Площадь MCLK равна разности площадей треугольников ACL и AMK 

Smclk = Sacl - Samk = S*4/11 - S/9;

Ну, и осталось подставить S = 198.

Smclk = 198*4/11 - 198/9 = 18*4 - 22 = 72 - 22 = 50;

 Поставь лучшее решение!