Question

Пусть для любых значений аргумента, отличных от нуля, функция y = f(x) удовлетворяет условию $f(x) + 2f ( frac{4}{x} ) = x - frac{5}{x}$.
Найти:
1) f(1);
2) f(x).

Answer 1

Это задача легко сводится к решению системы линейных уравнений.
Для начала замена:
$f(x)=A \ f( frac{4}{x} )=B$
Тогда $A+2B=x- frac{5}{x}$. Это будет первым уравнением системы. Неизвестные тут А и В, а х играет роль параметра.
Теперь вспомним, что равенство по условию выполняется для любого аргумента и заменим в этом равенстве x на $frac{4}{x}$.
$f( frac{4}{x} )+2f(x)=frac{4}{x}- frac{5x}{4}$
Вот и всплыло второе уравнение. Итак, имеем систему:
$left { {{A+2B=x- frac{5}{x} } atop {B+2A= frac{4}{x} - frac{5x}{4} }} right.$
Эта система без проблем решается способом сложения.
Получаем $A=f(x)= frac{13}{3x} - frac{7x}{6}$, ну а B нам и не нужно.
Проверка для самоконтроля:
$frac{13}{3x} - frac{7x}{6}+2(frac{13}{frac{3*4}{x} } - frac{7* frac{4}{x} }{6})=frac{13}{3x} - frac{7x}{6}+ frac{13x}{6} - frac{28}{3x} =x- frac{5}{x}$
Все верно, мы получили то что в условии. 
Значит $f(x)= frac{13}{3x} - frac{7x}{6}$, ну а $f(1)= frac{19}{6}$