Question

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение (x2+x)(x2+5x+6)=a имеет ровно три корня.

Пытался представить левую часть, как функцию f(x) и взять производную, чтобы найти максимумы и минимумы, но получается, что производная равна y=4x3+18x2+22x+6 и как решить данное кубическое уравнение я не могу понять пока. Может у кого есть какие мысли?

Answer 1

Можно разложить на множители:
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = a,  потом перемножить крайние:
(x² + 3x)(x² + 3x + 2) = a
x² + 3x = t
t(t + 2) = a
t² + 2t - a = 0
D/4 = 1 + a, если равен 0, то не более 2-х корней, поэтому >0
1 + a > 0
a > -1
t = -1 + √(a + 1)    или   t = -1 - √(a + 1)
x² + 3x = -1 + √(a + 1)    или   x² + 3x = -1 - √(a + 1)
x² + 3x + 1 - √(a + 1) = 0       x² + 3x  + 1 + √(a + 1) = 0
D = 9 - 4 + 4√(a + 1)             D = 9 - 4 - 4√(a + 1)
D = 5 + 4√(a + 1)                   D = 5 - 4√(a + 1)
всегда >0, 2  корня              должен быть 1 корень⇒D = 0
при любых                              5 - 4√(a + 1) = 0
допустимых а                        4√(a + 1) = 5
(а>-1)                                       a + 1 = 25/16
                                                  a = 9/16
Т. е. при а = 9/16 уравнение имеет ровно 3 корня.
Но все ли это а, не уверена

Answer 2

Ответ такой! СПАСИБО! Про "другое" разложение что-то мысль и не пришла :)