Question

В цилиндре под поршнем находится одноатомный идеальный газ с параметрами p0=105 Па, V0=5,6 , T0=273 К. Поршень удерживается пружиной, длина которой в недеформированном состоянии равна длине цилиндра. Слева от поршня −− вакуум. Найдите теплоёмкость газа. Ответ выразите в Дж/К, округлив до десятых. Теплоёмкости цилиндра, поршня и пружины не учитывать.

Answer 1

Теплоемкость - характеристика сугубо дифференциальная (хохо), поэтому в задаче все приращения будут малыми

Пусть поршень находится в некоем равновесном состоянии (газ давит, пружина сжата), и мы сообщаем в систему некое малое (!) количество теплоты.

Согласно первому началу
$Delta Q = Delta U + A$

С изменением внутренней энергии все будет просто, а вот работу хотелось бы пересчитать через изменение температуры. Для этого вспомним, что малая работа

$A approx p_0Delta V$

И попробуем через уравнение состояния связать объем с температурой. Напомним, что давление газа

$p = F/S = kl/S$

И по условию задачи l - это и деформация пружины, и длина части поршня, занимаемого газом, поэтому
$displaystyle p V = nu R T\\ frac{klV}{S} = nu R T\ k V^2 = nu S^2 R T\ Delta k (V^2)approx 2kV_0Delta V = nu S^2 RDelta T\ Delta V = frac{nu S^2 R}{2 k V_0}Delta T = frac{nu R S}{2 k l_0}=frac{nu R}{2p_0}Delta T$

Теперь

$Delta Q = frac{3}{2}nu R Delta T + A = (nufrac{3}{2}R+p_0frac{nu R}{2p_0})Delta T = 2 nu R Delta T\\ C = frac{Delta Q}{Delta T} = 2 nu R = 2 frac{p_0 V_0}{T_0}$

То, что молярная теплоемкость газа в такой системе равна 2R - достаточно известный факт. Мы его доказали, и выразили количество вещества газа через данные температуру давление и объем