Question

Помогите, пожалуйста, исследовать функцию у=1/3*x^3+2x^2
с подробным решением и построением графика

Answer 1

Исследуем вместе.
1. Область определения 0 непрерывность -
X∈R или X∈(-∞,+∞)
- разрывов нет.
2. Пересечение с осью Х -  х1 = -6 их2 = 0
3. Пересечение с осью У - У(0)=0.
4. Поведение на бесконечности
Y(-∞) = -∞  и Y(+∞) = +∞
5. Исследование на четность.
Y(-x) = - 1/3*x³ - 2x² и Y(x) = 1/3*x³+2x²
Функция не четная и ни нечетная.
6.  Первая производная функции
Y' = x² + 4x
7. Точки экстремума -  корни первой производной.
Y' = x*(x+4) = 0
x1 = 0  Ymin(0) = 0 - минимум
х2 = -4 Ymax(-4) = 10 2/3 - максимум
8. Монотонность функции
Возрастает - X∈(-∞,-4]∪[0,+∞)
Убывает - Х∈[-4,0]
9 Вторая производная - точка перегиба
Y" = 2x+4 = 0
x = -2 - точка перегиба.
10. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞,-2]
Вогнутая - "ложка" - X∈[-2,+∞)
11. График прилагается.
графики производных - в подарок.