Question

Решить интеграл (Интегральное исчисление функции одной переменной)

Answer 1

$int frac{xcdot cosx}{sin^2x}dx=[; u=x; ,; du=dx; ,dv=frac{cosx}{sin^2x}dx; ,; v=-frac{1}{sinx}; ]=\\=[; int ucdot dv=uv-int vcdot du; ]=\\=-frac{x}{sinx}+int frac{dx}{sinx} =- frac{x}{sinx} +int frac{sinx}{sin^2x} dx=- frac{x}{sinx} +int frac{sinx, dx}{1-cos^2x}=\\=- frac{x}{sinx} -int frac{-d(cosx)}{cos^2x-1} =-frac{x}{sinx}+frac{1}{2}cdot lnleft |frac{cosx-1}{cosx+1}right |+C=\\=-frac{x}{sinx}+lnsqrt{left |frac{cosx-1}{cosx+1}right |}+C=-frac{x}{sinx}+ln|tgfrac{x}{2}|+C$

$P.S.quad int frac{dt}{t^2-1}=frac{1}{2}cdot lnleft |frac{t-1}{t+1}right |+C; ,; ; t=cosx$