Question

используя простейшие преобразования к график функции y-x² постройте график функций y=x²+4x+1

Answer 1

ДАНО: y = x² + 4*x + 1

ПОСТРОИТЬ ГРАФИК

РЕШЕНИЕ.

Преобразуем функцию к квадрату суммы.

y  = x² + 4*x + 1 = (x² + 2*(2*x) + 4) - 4+1 = (x+2)² - 3 - прибавили и вычли 4.

Получили уравнение параболы у = х² со смещенной вершиной в точку А(-2;-3)

Для построения параболы используем точки  (0;0), (1;1), (2;4), (3,9) и свойство параболы, что она чётная (парная). Заданную функцию начинаем строить из точки (-2;-3)

Рисунок с графиками в приложении.

Answer 2

ТЕОРИЯ (это важно):

• Сначала нужно найти начало координат, то есть вершину параболы с учётом её сдвига. Для этого находим координаты x₀, y₀ вершины O параболы  (по осям OX и OY соответственно), вычисляем их по специальным формулам:  $x_0 = - frac{b}{2a}, y_0 = - frac{b^2-4ac}{4a}$.

• O(x₀;y₀), где x₀ — координата по оси OX, y₀ — координата по оси OY, O — начало координат.

• Потом, когда найдена вершина, строим график той функции, из которой получена данная нам в условии функция, начиная от вершины.

• Важно понимать: если нам дана функция, например, y=4x²+2x+1, то после нахождения вершины параболы для данной функции строим, начиная от вершины, график функции y=4x² — смотрим на коэффициент (число) перед x². Так, функция y=2x²-1x+2 получена из функции y=2x², а y=x²+4x+1 получена из функции y=x².
• Задача коэффициентов b и c — «сдвинуть» вершину параболы на определённую координату.  

• Таким образом, функция y=ax²+bx+c называется квадратичной, график — парабола, получена из функции y=ax² (где a — коэффициент перед x²) сдвигом вдоль осей координат на m по оси OY и на L по оси OX.
• Если a>0, ветви параболы направлены вверх; если a<0, ветви параболы направлены вниз.

РЕШЕНИЕ:

• Квадратичная функция y=x²+4x+1. График — парабола, ветви направлены вверх (a>0), получена из функции y=x² сдвигом вдоль осей координат на 3 единичных отрезка вниз и на 2 единичных отрезка влево.  

• 1. Найдём координаты начала координат:

     $y = x^2+4x+1. \ \ x_0 = -frac{b}{2a}. x_0 = -frac{4}{2 cdot 1} = - frac{4}{2} = -2. \ \ y_0 = -frac{b^2-4ac}{4a}. y_0 = -frac{4^2 - 4 cdot 1 cdot 1 }{4cdot 1} = -frac{16-4}{4} = -frac{12}{4} = -3.$

    Значит, O(-2;-3).

• 2. Построим график функции y=x². Строим таблицу значений:

    x=1 x=2 x=3

    y=1 y=4 y=9

    График на картинке

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ y=ax²+bx+c:

1. Найти координаты начала координат (вершины параболы).
2. Определить, из какой функции получена данная в условии функция.
3. Строим таблицу значений для той функции, из которой получена данная нам в условии функция.
4. Отмечаем на чертеже точку вершины параболы, построить оси.
5. Построить и подписать параболу.