Question

Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересекают сторону ВС в точках К и М соответственно, причем ВК=КМ=МС, АК=8, ДМ=6. Найдите периметр паралелограмма

Answer 1

Чертеж к решению - во вложении.

Известно, что биссектрисы двух непротивоположных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом и отсекают равнобедренные треугольники. Таким, образом, треугольники АВК и МСД равнобедренные, а треугольник КРМ - прямоугольный.

Все равные углы (накрест лежащие и вертикальные), а также равные отрезки  отмечены на чертеже. 

Ведем обозначения: ВК=КМ=МС=х, КР=у, МР=z.

Периметр параллелограмма P=2(АВ+ВС)=8х.

Треугольники РАД и РКМ подобны по двум углам. Поэтому

$frac{AP}{KP}=frac{DP}{MP}=frac{AD}{KM}$ 

$frac{8+y}{y}=frac{6+z}{z}=frac{3x}{x}$

1) $frac{8+y}{y}=frac{3x}{x}$ 

$frac{8+y}{y}=3$

3y=8+y

y=4,

2) $frac{6+z}{z}=frac{3x}{x}$ 

$frac{6+z}{z}=3$

z+6=3z

z=3,

По теореме Пифагора в треугольнике КРМ

$x=sqrt{y^2+z^2}=sqrt{4^2+3^2}=sqrt{25}=5$

$P_{ABCD}=8*5=40$

Ответ:  $P_{ABCD}=40$