Question

Решите пожалуйста №23 с подробным решением,что и как находилось.За ранее спасибо)!

Answer 1

$y= frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$

ОДЗ:

$x-3neq0\ boxed{xneq3}\\ x+2=0\ boxed{xneq-2}$

$D(f)=(-infty;-2)bigcup(-2;3)bigcup(3;+infty)$


$y= frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)} = frac{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=(x-2)(x+3)=x^2+x-6$


$boxed{*}\ x^4-13x^2+36=0\ x^2=t\ t^2-13t+36=0\ D=169-144=25; sqrt D= 5\\ t_{1/2}= frac{13pm5}{2}\\ t_1= frac{8}{2}=4\\ t_2= frac{18}{2}=9$

Обратная замена:

$x^2=4\ x_{1/2}=pm2\\ x^2=9\ x_{1/2}=pm3$


$x^4-13x^2+36=(x+2)(x-2)(x-3)(x+3)$


Приступим к построению функции $y=x^2+x-6=0$

Корни у нас уже известны (как видно из упрощения функции), соответственно:

$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$

$x-2=0\ x=2\\ x+3=0\ x=-3$

Находим координату вершины параболы $(x_0;y_0)$

$x_0= -frac{b}{2a}= -frac{1}{2}$

Чтобы найти $y_0$ необходимо значение $x_0$ подставить в нашу функцию, получаем:

$y_0=(- frac{1}{2})^2- frac{1}{2}-6= frac{1}{4}- frac{1}{2}-6= frac{1-2-24}{4}=- frac{25}{4}=-6.25$

ОДЗ нам показывает точки, в которых функция не может существовать, т.е. она прерывается. Подставим значения ОДЗ в уже упрощенную функцию:

$y(-2)=(-2-2)(-2+3)=-4cdot1=-4\ y(3)=(3-2)(3+3)=1cdot6=6$

Обозначаем эти точки на графике (см. график)

Переходим к определению, при каких значениях с прямая у=с имеет с графиком одну общую точку.

Понимаем, что прямая у=с - это прямая, параллельная оси ОХ. Мы должны найти такие значения этой прямой, чтобы график она пересекала в одной точке.
Первая точка - это вершина параболы, в ней прямая будет иметь одну точку соприкосновения. с = -6,25

Вторая точка - это выколотая точка у(-2) = -4. Слева прямая пройдет через разрыв функции, а правую ветвь пересечет. с=-4

Третья точка - это выколотая точка у(3) = 6. Слева прямая пересечет график, а справа пересечения не будет. с=6

Итак, мы нашли три точки пересечения графика с прямой, где прямая будет иметь с графиком три общие точки.

Ответ: $c_1=-6.25; c_2=-4; c_3=6$