Question

Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания $f(x) = frac{1}{2}sin( frac{ pi }{6}-4x)$

Answer 1

1) Найдем нули функции:

$frac{1}{2} sin( frac{ pi }{6} -4x)=0 \ \ sin( frac{ pi }{6} -4x)=0 \ \ frac{ pi }{6} -4x= pi n \ \ -4x=- frac{ pi }{6} + pi n \ \ x= frac{ pi }{24} - frac{ pi n}{4} =frac{ pi }{24} +frac{ pi n}{4} , nin Z$

2) Найдем промежутки знакопостоянства методом интервалов.
Синус имеет бесконечное множество корней, значит для интервала возьмем хотя бы 4 из них, при n равном, например, -1; 0; 1; 2

$n=-1; x=frac{ pi }{24} -frac{ pi }{4}= -frac{5 pi }{24} \ \ n=0; x=frac{ pi }{24} \ \ n=1; x=frac{ pi }{24} +frac{ pi }{4}= frac{7 pi }{24} \ \ n=2; x=frac{ pi }{24} +frac{2 pi }{4}= frac{13 pi }{24}$

Теперь берем пробную точку, чтобы узнать знак интервала. Очевидно что в промежутке от (-5π/24;π/24) можно взять нуль.
Подставляем в исходную функцию:

$f(x)=frac{1}{2} sin( frac{ pi }{6} -4x) \ \ f (0)= frac{1}{2} sin( frac{ pi }{6} -4*0)= frac{1}{2} sinfrac{ pi }{6}= frac{1}{2} *frac{1}{2} =frac{1}{4}$
Следовательно f(0)>0
расставляем знаки:

$---(- frac{5 pi }{24} )+++( frac{ pi }{24} )---( frac{7 pi }{24} )+++( frac{13 pi }{24} )--- textgreater x$

на этих интервалах положительное значение функции начинается с х=-5π/24  или с х=7π/24

то есть из точки -5π/24 попадаем в точку 7π/24 через период :
$frac{ 7 pi }{24}-(- frac{5 pi }{24}) = frac{ 7 pi }{24}+ frac{5 pi }{24} = frac{12 pi }{24} = frac{ pi }{2}$

Таким образом:

$f(x) textgreater 0, pi pu xin (- frac{5 pi }{24}+ frac{ pi }{2} n; frac{ pi }{24} +frac{ pi }{2} n) \ \ f(x) textless 0, pi pu x in (frac{ pi }{24}+ frac{ pi }{2} n; frac{ 7pi }{24} +frac{ pi }{2} n) , nin Z$

3) Найдем промежутки возрастания и убывания функции:
для этого найдем производную функции, найдем нули этой производной и также воспользуемся методом интервалов.
Там где производная будет больше нуля - исходная функция будет возрастать, где меньше нуля - убывать.

$f'(x)=(frac{1}{2} sin( frac{ pi }{6} -4x))'=frac{1}{2}cos( frac{ pi }{6} -4x)*(-4)=-2cos( frac{ pi }{6} -4x) \ \ -2cos( frac{ pi }{6} -4x) =0 \ \ cos( frac{ pi }{6} -4x) =0 \ \ frac{ pi }{6} -4x= frac{ pi }{2} + pi n \ \ -4x= frac{ pi }{3} + pi n \ \ x=- frac{ pi }{12} - frac{ pi n}{4} =- frac{ pi }{12} + frac{ pi n}{4} \ \ \ \ n=0, x=- frac{ pi }{12} \ \ n=1, x=- frac{ pi }{12} + frac{ pi }{4} =frac{ pi }{6}$

$n=2, x=- frac{ pi }{12} + frac{2 pi }{4} =frac{ 5pi }{12} \ \ n=3, x=- frac{ pi }{12} + frac{3 pi }{4} =frac{ 2pi }{3}$

Берем пробную точку 0 в промежутке (-π/12; π/6)

$f'(x)=-2cos( frac{ pi }{6}-4x ) \ \ f'(0)=-2cos frac{ pi }{6} =-2* frac{ sqrt{3} }{2} =- sqrt{3} \ \ f'(0) textless 0$

Следовательно

$+++[- frac{ pi }{12} ]---[ frac{ pi }{6} ]+++ [frac{5 pi }{12} ]---[ frac{2 pi }{3} ]+++ textgreater x$

$frac{5 pi }{12} -(- frac{ pi }{12} )= frac{5 pi }{12} +frac{ pi }{12}= frac{ pi }{2}$

значит период повтора монотонности (убывания, возрастания) функции будет:
$frac{ pi }{2} n$
Таким образом:
Функция возрастает на промежутках:
$[ frac{ pi }{6} + frac{ pi }{2} n; frac{5 pi }{12}+ frac{ pi }{2} n]$

Убывает на:
$[ -frac{ pi }{12} + frac{ pi }{2} n; frac{ pi }{6}+ frac{ pi }{2} n] , n in Z$

Answer 2

большое спасибо за помощь