Question

Помогите решить,пожалуйста! Неравенство:sin4x-cos4xctg2x<корень из трёх.Помогите хотя бы упростить левую часть!!

Answer 1

$sin4x-cos4x*ctg2x<sqrt3\ sin4x-cos4x*frac{sin2x}{cos2x}<sqrt3\ frac{sin4x*cos2x-cos4x*sin2x}{cos2x}<sqrt3\ frac{2sin2x*cos^22x-cos4x*sin2x-sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\ frac{2sin2x*cos^22x-(cos^22x-sin^22x)*sin2x-sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\ frac{2sin2x*cos^22x-cos^22x*sin2x+sin^32x-sqrt3*cos2x}{cos2x}<0$

Для удобства для начала отдельно рассмотрю числитель

$2sin2x*cos^22x-cos^22x*sin2x+sin^32x-sqrt3*cos2x=\ =sin2x*cos^22x+sin^32x-sqrt3cos2x=\ =sin2x(cos^22x+sin^22x)-sqrt3cos2x$

Заметим, что $cos^22x+sin^22x$ равно одному, это главное тригоном. тождество,
напомню, что $sin^2alpha+cos^2alpha=1$, только в нашем случае α=2x

Заменяем на единицу и все упрощается$sin2x-sqrt3cos2x$

И так получили следущее

$frac{sin2x-sqrt3*cos2x}{cos2x}<0\ frac{sin2x}{cos2x}-frac{sqrt3cos2x}{cos2x}<0\ tg2x-sqrt3<0\ tg2x<sqrt3\ 2x=frac{pi}{3}+pi n,nin Z\ x=frac{pi}{6}+frac{pi}{2}n,nin Z$

При этом

$cos2xneq0\ 2xneqfrac{pi}{2}+pi n,nin Z\ x=frac{pi}{4}+frac{pi}{2}n,nin Z$

У нас получилось две серии корней, с периодами пи/2. поэтому на на круге будет очень много корней. Не знаю так знадумывалось ли, но придётся проверять знаки на промежутках между этими корнями. В итоге на круге будет 8 корней. Некоторая переодичность в знакопостоянстве улавливается, но не сразу и она не однозначна.

Нам нужно <0.

И выходит:

$xin(frac{pi}{4}+pi n;frac{pi}{2}+pi n)cup(frac{2pi}{3}+pi n;pi+pi n), nin Z$