Question

В олимпийском турнире участвовало 199 команд. Сколько матчей они сыграли?

 

 

У меня есть вариант решения, как сумма от 1 до 198, но смущает, что слишком просто.  И еще, задача для 6 класса. А с понятием арифметической прогрессии и ее суммы еще не знакомы.

Answer 1

Каждая команда сыграла с другой. Значит, всего игр было 199*198. Но такие игры включают в себя дублированные игры - то есть команды A и B играли по два раза в порядках A-B и B-A соответственно. Нам нужно поделить всё на два.
199*99=19701.

Че-то большой турнирчик получается... не уверен.

Answer 2

Да, всё правильно. Для n команд, число игр (при условии, что каждая команда играет одну игру с каждой командой соперников) равно сумме чисел от 1 до (n -1)

Задачу можно решить с помощью наглядной иллюстрации:

обозначим точками команды, а линиями, которые их соединяют - игры.

Для 3-х команд получим треугольник, то есть 3 игры.

Для 4-х команд получим квадрат (4 стороны + 2 диагонали), то есть 6 игр.

Для 5-х команд получим 5-угольник (5 сторон + 5 диагоналей), то есть 10 игр, и т.д.

То есть искомое число игр есть сумма количества сторон и диагоналей 199-угольника.

Количество диагоналей n-угольника равно

$d=frac{n(n-3)}{2}$

Количество сторон равно n

Находим сумму:

$frac{n(n-3)}{2}+n = frac{n(n-3)+2n}{2} = frac{n^2-3n+2n}{2} = frac{n(n-1)}{2}$

Подставим n=199 и получим:

199*198/2=19701