Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K лежит на ребре AA1, точка М лежит на отрезке D1C1, длина ребра BC=10. Найдите косинус угла между прямой KM и диагональю куба, которая выходит из вершины B, если АК:КА1=2:3, D1M:MC1=7:3.

Answer 1

1. Введем систему координат. ВА - ось х, ВС - ось у, ВВ1 - ось z. В(0;0;0). Обозначим ребро куба за 10. Т.к. АК:КА1=2:3, D1M:MC1=7:3, АК = 4, КА1 = 6, D1M=7, MC1 = 3.

Координаты точек:

К(10;0;4), M(3;10;10), D1(10;10;10).

2. Найдем векторы КМ и ВD1. Координаты вектора КМ (-7;10;6), ВD1(10;10;10)

Длина КМ= √(49+100+36)= √185 Длина ВD1 = 10√3.

3. Косинус угла между KM и ВD1 = произведение векторов/ произведение длин этих векторов.

Косинус угла между KM и ВD1 = (-70+100+60)/10√555=11/√555