Question

sin(arctgx)=x/√(1+x^2) докажите тождество

Answer 1

Доказать тождество

$displaystyle sin(arctgx)=frac{x}{sqrt{1+x^2}}$

воспользуемся формулой

$displaystyle ctg^2x+1=frac{1}{sin^2x}$

выразим sinx

$displaystyle sin^2x=frac{1}{ctg^2x+1}= frac{1}{frac{1}{tg^2x}+1}= frac{tg^2x}{1+tg^2x}\\sinx= sqrt{frac{tg^2x}{1+tg^2x}}= frac{tgx}{sqrt{1+tg^2x}}$

теперь подставим в наше выражение

$displaystyle sin(arctgx)=frac{tg(arctgx)}{sqrt{1+tg^2(arctgx)}}= frac{x}{sqrt{1+x^2}}$

что и требовалось доказать