Question

айдите сумму корней уравнения sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 принадлежащих отрезку [0градусов;180градусов]

Answer 1

(sin x + sin 4x) + (sin 2x + sin 3x) = 0

2sin(5x/2)cos(3x/2) + 2sin(5x/2)cos(x/2)=0

2sin(5x/2)(cos(3x/2)+cos(x/2))=0

4sin(5x/2)cos 2x cos x =0 

$sinfrac{5x}{2}=0$ или cos 2x=0 или cos x =0

$frac{5x}{2}=pi k$ или $2x=frac{pi}{2}+pi n$ или $x=frac{pi}{2}+pi m$

$x=frac{2pi k}{5}$ или $x=frac{pi}{4}+frac{pi n}{2}$ или  $x=frac{pi}{2}+pi m$

На отрезке [0; 180] получим следующие решения уравнения:

$0, frac{2pi}{5}, frac{4pi}{5}, frac{pi}{4}, frac{3pi}{4}, frac{pi}{2}.$

 Сумма корней: 

$0 + frac{2pi}{5}+ frac{4pi}{5}+frac{pi}{4}+frac{3pi}{4}+frac{pi}{2}=frac{6pi}{5}+frac{3pi}{2}=frac{27pi}{10}=2,7pi$