Question

Вычислите интегралы
(Очень нужно, заранее спасибо)

Answer 1

4)  Преобразуем подынтегральное выражение (представим в виде суммы двух слагаемых) $frac{ x^{3}+7 x^{2} }{ x^{3} } = frac{ x^{3} }{ x^{3} } + frac{7 x^{2} }{ x^{3} } =1+ frac{7}{x}$ 
Найдем интеграл от суммы
$intlimits {1+ frac{7} {x} } , dx = intlimits dx + intlimits frac{7} {x} } , dx =x+7ln|x| +c$
5) пусть t=$x^{4}+6;dt=4 x^{3} dx$  Умножаем подынтегральное выражение на произведение 14 и 4, выносим 14 за знак интеграла получаем $frac{1}{4} intlimits{ t^{7} } , dt= frac{1}{4}frac{t ^{8} }{8} +c = frac{ ( x^{4} +6)^{8} }{32} +c$ 
6) Метод подстановки. t = sinx, cosx = $sqrt{1- t^{2} }$, dx=$frac{1}{ sqrt{1- t^{2} }}$
После замены в подынтегральном выражении получаем $intlimits {t} , dt = frac{t^{2} }{2}+c= frac{ sin^{2} x}{2}+c$