Предмет: Математика,
автор: 010998k
помогите, пожалуйста, решить, с подробным, пошаговым объяснением, очень прошу. Задание: решить уравнение над полем комплексных чисел x^2-(2+i)x+(-1+7i)=0
Ответы
Автор ответа:
0
D = (2+i)^2 - 4*(-1+7i) = 4+4i+(i^2) + 4 - 28i = 8 - 24i - 1 = 7 - 24i,
(формула-1)
может принимать несколько значений.
![sqrt{D} = w = u+vi, sqrt{D} = w = u+vi,](https://tex.z-dn.net/?f=+sqrt%7BD%7D+%3D+w+%3D+u%2Bvi%2C+)
u, v - считаем вещественными.
![D = w^2 = (u+vi)^2 = u^2 +2uvi + v^2 cdot i^2 = u^2 - v^2 + 2uvi D = w^2 = (u+vi)^2 = u^2 +2uvi + v^2 cdot i^2 = u^2 - v^2 + 2uvi](https://tex.z-dn.net/?f=+D+%3D+w%5E2+%3D+%28u%2Bvi%29%5E2+%3D+u%5E2+%2B2uvi+%2B+v%5E2+cdot+i%5E2+%3D+u%5E2+-+v%5E2+%2B+2uvi+)
![7-24i = u^2 - v^2 + 2uvi 7-24i = u^2 - v^2 + 2uvi](https://tex.z-dn.net/?f=+7-24i+%3D+u%5E2+-+v%5E2+%2B+2uvi+)
Имеем систему из двух (вещественных) уравнений:
и
.
Решаем ее.
![uv=-12, v = -12/u, uv=-12, v = -12/u,](https://tex.z-dn.net/?f=+uv%3D-12%2C+v+%3D+-12%2Fu%2C+)
![7 = u^2 - (frac{-12}{u})^2, 7 = u^2 - (frac{-12}{u})^2,](https://tex.z-dn.net/?f=+7+%3D+u%5E2+-+%28frac%7B-12%7D%7Bu%7D%29%5E2%2C+)
![u^2 - frac{144}{u^2} = 7 u^2 - frac{144}{u^2} = 7](https://tex.z-dn.net/?f=+u%5E2+-+frac%7B144%7D%7Bu%5E2%7D+%3D+7+)
![u^4 - 7u^2 - 144 = 0 u^4 - 7u^2 - 144 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=+u%5E4+-+7u%5E2+-+144+%3D+0+)
Это биквадратное уравнение.
![D_2 = 7^2 + 4cdot 144 = 625 = 25^2 D_2 = 7^2 + 4cdot 144 = 625 = 25^2](https://tex.z-dn.net/?f=+D_2+%3D+7%5E2+%2B+4cdot+144+%3D+625+%3D+25%5E2+)
![u^2 = frac{7 pm 25}{2} u^2 = frac{7 pm 25}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+u%5E2+%3D+frac%7B7+pm+25%7D%7B2%7D+)
Отрицательное значение для u^2 здесь не подходит (ведь u - вещественное)
![u^2 = frac{32}{2} = 16 u^2 = frac{32}{2} = 16](https://tex.z-dn.net/?f=+u%5E2+%3D+frac%7B32%7D%7B2%7D+%3D+16+)
.
![u_1 = 4, v_1 = -frac{12}{4} = -3 u_1 = 4, v_1 = -frac{12}{4} = -3](https://tex.z-dn.net/?f=+u_1+%3D+4%2C+v_1+%3D+-frac%7B12%7D%7B4%7D+%3D+-3+)
![u_2 = -4, v_2 = -frac{12}{-4} = 3 u_2 = -4, v_2 = -frac{12}{-4} = 3](https://tex.z-dn.net/?f=+u_2+%3D+-4%2C+v_2+%3D+-frac%7B12%7D%7B-4%7D+%3D+3+)
.
Теперь по (формуле -1), получаем
![x_1 = frac{ 2+i + 4 - 3i}{2} = frac{6-2i}{2} = 3-i x_1 = frac{ 2+i + 4 - 3i}{2} = frac{6-2i}{2} = 3-i](https://tex.z-dn.net/?f=+x_1+%3D+frac%7B+2%2Bi+%2B+4+-+3i%7D%7B2%7D+%3D+frac%7B6-2i%7D%7B2%7D+%3D+3-i+)
.
u, v - считаем вещественными.
Имеем систему из двух (вещественных) уравнений:
Решаем ее.
Это биквадратное уравнение.
Отрицательное значение для u^2 здесь не подходит (ведь u - вещественное)
Теперь по (формуле -1), получаем
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык,
автор: dilnavokarimkulova92
Предмет: Другие предметы,
автор: sg8238361
Предмет: Химия,
автор: mamasadykovaaisalkyn
Предмет: Математика,
автор: Аноним
Предмет: Химия,
автор: Багдасарян