Question

Решите уравнение 5sin^2x-3sinxcosx=4

Answer 1

$5sin^2x-3sin xcos x=4$

Основное тригонометрическое тождество: $1=sin^2 x+cos^2x$

В правой части уравнения число $4$ можно представить как $4cdot 1$, т.е. если подставить основное тригонометрическое тождество, получим:

$5sin^2 x-3sin xcos x=4(sin^2 x+cos^2x)$
Раскрываем скобки и упрощаем

$5sin^2 x-4sin^2 x-3sin xcos x-4cos^2 x=0\ sin^2 x-3sin xcos x-4cos^2x=0$
Разделим обе части уравнения на $cos^2 x$, получим:

$frac{sin^2x}{cos^2x} -3cdot frac{sin x}{cos x} -4=0$

Очевидно, что $frac{sin x}{cos x} =tg x$, тоесть получаем:
$tg^2x-3tg x-4=0$

Сделаем замену
Пусть $tg x=t,,(t in R)$, получаем
$t^2-3t-4=0$

По т. Виета:
$t_1=4\ t_2=-1$

Возвращаемся к замене
$tg x=4\ x=arctg(4)+pi n,n in Z\ \ tg x =-1\ x=arctg(-1)+pi n,n in Z\ x=- frac{pi}{4}+pi n,n in Z$