Question

Помогите с вычислить предел подробно пожалуйста

Answer 1

$lim_{ntoinfty}{x_n},\\x_n=frac{1+2+ldots+n}{n^2},$

$lim_{ntoinfty}{frac{1+2+ldots+n}{n^2}}=left(frac{infty}{infty}right)$ — неопределённость Лопиталя.  Его теорема утверждает, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Значит:

$lim_{ntoinfty}{frac{1+2+ldots+n}{n^2}}=left(frac{infty}{infty}right)=lim_{ntoinfty}{frac{left(1+2+ldots+nright)'}{left(n^2right)'}}=lim_{ntoinfty}{frac{n'}{left(n^2right)'}}=\\=lim_{ntoinfty}{frac{1}{2n}}=left(frac{1}{infty}right)=left(frac{c}{infty}right)=0.$

По соглашениям предел вида $frac{c}{infty}right)$, где $c - const$, равен 0.