Question

Очень прошу решить этот пример: тема лимиты, решала разными способами, но ответы получаются разные. Проверила на wolframalpha, ответ -1, а как решить не знаю. Помогите пожалуйста!
Если что - это задачник Бермана "Сборник задач по курсу мат. анализа", номер 289)

Answer 1

Подставляем х в функцию и получаем неопределённость вида $frac{ {infty} }{{infty}}$
Определяем "икс" в старшей степени и затем делим числитель и знаменатель на него.
$lim_{xto infty} frac{ sqrt{x^2+1}+ sqrt{x} }{ sqrt[4]{x^3+x}-x}= frac{ {infty} }{{infty}}=$(*)
(*)
$= lim_{x to infty} frac{frac{ sqrt{x^2+1}+ sqrt{x}}{x} }{frac{ sqrt[4]{x^3+x}-x}{x}}= lim_{x to infty} frac{ frac{ sqrt{x^2+1} }{x}+ frac{ sqrt{x} }{x} }{ frac{ sqrt[4]{x^3+x}}{x} - frac{x}{x} } = lim_{x to infty} frac{ frac{ sqrt{x^2+1} }{ sqrt{x^2} }+ frac{ sqrt{x} }{ sqrt{x^2} } }{ frac{ sqrt[4]{x^3+x}}{ sqrt[4]{x^4} } -1} =$
$=lim_{x to infty} frac{ sqrt frac {{x^2+1} }{{x^2} }+{ sqrtfrac{{x} }{{x^2}} } }{ sqrt[4]{ frac{x^3+x}{x} } -1}= lim_{x to infty} frac{ sqrt{1+ frac{1}{x^2} }+ sqrt{ frac{1}{x} } }{ sqrt[4]{ frac{1}{x}+ frac{1}{x^3} }-1 } = frac{1}{-1}=-1$
В числителе 1/х² →0  и 1/х →0, в знаменателе 1/х→0 и 1/x³→0, поэтому в числителе остаётся √1, а в знаменателе -1. В итоге 1/-1=-1