Question

Треугольник ABC задан координатами своих вершин. Высота AD и медиана AE пересекает сторону BC в точках D и E соответственно. Требуется
1. найти длину DE ;
2. составить уравнение прямой , проходящей через точку E параллельно AC;
3. найти внутренний угол B;
4. найти уравнение и длину биссектрисы AL;
5. составить систему линейных неравенств , определяющую внутреннюю область ABC.

Answer 1

1. найти длину DE.
Находим координаты точки Е как середину стороны ВС:
Е((7+1)/2=4; (6+3)/2=4,5).
Координаты точки Д находим как точку пересечения прямой ВС и высоты АД. 
Уравнение $BC: frac{x-7}{1-7} = frac{y-6}{3-6}$
$BC: frac{x-7}{-6} = frac{y-6}{-3}$
-3x+21 = -6y+36
3x-6y+15=0 сократим на 3 и получим уравнение общего вида:
х-2у+5 = 0 или в виде уравнения с коэффициентом у = 0,5х + 2,5.
Уравнение высоты АД: $frac{x-x_A}{y_C-y_B}= frac{y-y_A}{x_B-x_C}$.
Подставим координаты точек:АД: $frac{x-4}{3-6} = frac{y-7}{7-1}$
$frac{x-4}{-3} = frac{y-7}{6}$
6x-24 = -3y+21
6x+3y-45 = 0
2x + y - 15 = 0  или  y = -2x + 15.

Решаем систему $left { {{y=0,5x+2,5} atop {y=-2x+15}} right.$
Вычтем из первого уравнения второе -2,5х+12,5=0
х = 12,5/2,5 = 5.
у = -2*5 + 15 = -10 + 15 = 5.

Отсюда находим длину отрезка ЕД:
$ED= sqrt{(5-4)^2+(5-4,5)^2} = sqrt{1+0,25}= sqrt{1,25} = frac{ sqrt{5}}{2}$ ≈  1,118034.

2. составить уравнение прямой , проходящей через точку E параллельно AC.
Для этого надо составить уравнение прямой АС:
АС : -4 Х + 3 У - 5 = 0  или, умножив на -1: АС: 4х - 3у + 5 = 0.
Это же уравнение в виде уравнения с коэффициентом:
у = (4/3)х + (5/3).
 Уравнение прямой , проходящей через точку E параллельно AC, имеет вид ах + в, где коэффициент а равен коэффициенту прямой АС.
Подставим координаты точки Е:
4,5 = (4/3)*4 + в.
Отсюда находим значение в:
в = 4,5 - (16/3) = -5/6.
Получаем искомое уравнение у = (4/3)х - (5/6).

3. найти внутренний угол B.
Внутренние углы определяем по теореме косинусов.
cos В= (АВ²+ВС²-АС²)/(2*АВ*ВС)  = 0.70710.
B = arc cos 0,70710 = 0.785398 радиан = 45 градусов.

4. найти уравнение и длину биссектрисы AL.
Уравнение биссектрисы имеет вид:
АL:  (((Ув-Уа)/АВ) +( (Ус-Уа)/АС )) * Х +  ((( Ха-Хв)/АВ)  + ((Ха-Хс)/АС)) * У  + ((Хв*Уа - Ха*Ув)/АВ) + (Хс*Уа - Ха*Ус)/АС))  = 0.
Подставив координаты точек, полчаем:
-1,1162 Х + -0,34868 У + 6,90569 = 0  или, сократив на -1,1162:
Х + 0,31238 У  - 6,18664 = 0.
Это же уравнение в виде уравнения с коэффициентом:
у = -3.201265367 х + 19.80506.

5. составить систему линейных неравенств , определяющую внутреннюю область ABC.
x y т.С 1 3 АВ : -3.75 <0 т.А 4 7 ВС : 15 >0 т.В 7 6 АС : -15 <0