Question

На рисунке 48.10 окружность с центром в точке О касается прямой АВ в точке В,2ОВ=АВ, АЕ=АС. Докажите, что треугольник АВС и АDC подобны. Выведите из этого,
что точка Е делит отрезок АВ в золотом отношении. Укажите способ деления данного отрезка4 в золотом отношении с помощью циркуля и линейки.

Answer 1

В прямоугольном  треугольнике АОВ ∠СВА=90-∠СВО.
В тр-ке СВО СО=ВО ⇒ ∠СВО=∠ВСО.
В тр-ке ВСД ∠СВД=90°, т.к. он опирается на диаметр, значит ∠СДВ=90-∠СВД=90-∠ВСО=∠СВА.
Так как в тр-ках АВД и АВС ∠В общий и ∠СВА=∠СДВ - они подобны.
Доказано.

Классическое построение золотого сечения выглядит так:
На прямой АВ, с помощью циркуля восстановим серединный перпендикуляр. Параллельно нему построим параллельную прямую, проходящую через точку В, которая будет перпендикулярна АВ. Из точки В проведём дугу радиусом, равным половине АВ пересекающую свой перпендикуляр в точке С. Тем же радиусом, проведём дугу из точки С, пересекающую прямую АС в точке Д. С помощью циркуля, на прямой АВ, отложим отрезок АЕ, равный АД. Тогда построенные отрезки будут удовлетворять тождеству: АВ/АЕ=АЕ/ВЕ=φ.

На новом рисунке мы видим, что расстояния от точек В и С до места пересечения отложенных дуг равны, образуя равнобедренный треугольник. Место их пересечения соответствует точке С на первом рисунке. АВ=2АО, ОС=ОВ, АС=АЕ, значит точка Е делит отрезок АВ в золотом отношении.