Question

Помогите с логарифмическим уравнением

Answer 1

Дано уравнение:
$log_2((2x-3)^2+4)=2-cos^2(7 pi x).$
Правая часть может иметь значение от 2 до 1 (косинус в квадрате от 0 до 1).
Раскроем логарифмируемое выражение:
$4 x^{2} -12x+9+4 = 4 x^{2} -12x+13.$
График его - парабола ветвями вверх. Минимальное значение равно в её вершине с абсциссой: $x_0=- frac{b}{2a} =- frac{-12}{2*4} = frac{12}{8}=1,5.$
В этой точке значение выражения равно 4*2,25-18+13=4 или 2².
Значит, логарифмируемое выражение не может быть меньше 4, а логарифм по основанию 2 не меньше 2.
И больше он не может быть по вышеприведенному обоснованию.
Тогда 4x²-12x+13=4 или 4x² -12x+9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-12)^2-4*4*9=144-4*4*9=144-16*9=144-144=0; Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
x=-(-12/(2*4))=-(-12/8)=-(-1,5)=1,5. 

Ответ: х = 1,5.