Question

Вычислить интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница
$intlimits^3_2 {5xdx/(x-1)( x^{2} +2x+2)} ,$

Answer 1

$int frac{5xcdot dx}{(x-1)(x^2+2x+2)} =I\\ frac{5x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = frac{A}{x-1} + frac{Bx+C}{x^2+x+2} = frac{(A+B)x^2+(2A-B+C)x+(2A-C)}{(x-1)(x^2+2x+2)} \\x^2; |; A+B=0; ,qquad quad A=-B\\x^1; |; 2A-B+C=5; ,qquad -3B+C=5; ,; -3B-2B=5,; B=-1\\x^0; |; 2A-C=0; ,qquadquad C=2A=-2B\\B=-1,; A=1,; C=2.$

$I=int frac{dx}{x-1} +int frac{-x+2}{x^2+2x+2} dx=ln|x-1|-int frac{x-2}{(x+1)^2+1} dx=\\=[, x+1=t; ,; x=t-1; ,; dx=dt, ]=\\=ln|x-1|-int frac{t-3}{t^2+1} dt=ln|x-1|-int frac{t, dt}{t^2+1} +3int frac{dt}{t^2+1} =$

$=[u=t^2+1,du=2t*dt]=$

$=ln|x-1|-frac{1}{2}int frac{du}{u}+3arctgt=\\=ln|x-1|-frac{1}{2}ln|u|+3arctg(x+1)+C=\\=ln|x-1|-frac{1}{2}ln|x^2+2x+2|+3arctg(x+1)+C$

Answer 2

Где не надо, при вычислении границ предела?

Answer 3

Когда вычисляется неопределённый интеграл, то там С надо. А когда вычисляется определённый интеграл, то С не надо, только подстановка числовых пределов нужна

Answer 4

Как отличить определенный от неопределенного глядя на пример?

Answer 5

Пределы интегрирования если есть, то это определённый интеграл.

Answer 6

Спасибо!