Question

В трапеции ABCD с основаниями AB и CD диагонали AC и BD пересекаются в точке О, причем треугольник BOC равносторонний. Известно, что АВ = 5, CD = 3. Найдите длину стороны BC.

Answer 1

Ситуация с чертежом в данной задаче нетипичная для школы, т.к. боковые стороны трапеции имеют "однобокий уклон" (это не термин).
Т.к. при пересечении диагоналей АC и BD в точке О образовался равносторонний Δ ВОС, то у него все углы по 60°. Следовательно, ∠АОB = 120° (смежный с ∠ВОС=60°).
ΔCOD и ΔAOB подобны по двум углам (отмечены дугами на рисунке).
Запишем отношение сходственных сторон:
$frac{DO}{OB}= frac{CO}{OA}= frac{DC}{AB}$
Обозначим CB=CO=OB=a.
$frac{DO}{a}= frac{a}{OA}= frac{3}{5}$
Отсюда $OA= frac{5}{3}a$
В Δ АОВ по теореме косинусов АВ² = АО² + ОВ² - 2АО·ОВ·cos∠O.
$5^2=( frac{5}{3}a )^2+a^2-2* frac{5}{3}a *a*cos120^o$
$25= frac{25}{9}a^2+a^2-2* frac{5}{3}a^2 *(- frac{1}{2})$
$25= frac{25}{9}a^2+a^2+ frac{5}{3}a^2$
$frac{49}{9}a^2=25$
$a^2= frac{9*25}{49}$
$a= frac{3*5}{7} = frac{15}{7} =BC$
Ответ: $BC=frac{15}{7}$

Answer 2

спасибо