Question

Зачем нужен корень, если степень можно представить в виде дроби?

Answer 1

Во-первых, в дробную степень можно возводить только неотрицательные числа, поэтому формула:
$sqrt[n]{a^{m} } =a ^{ frac{m}{n} }$
справедлива только тогда, когда а≥0 и при этом n∈{2;3;4;5;...}
Во-вторых, существует огромное количество примеров, ответы на которые зависят от написания числа: в виде корня n-ой степени или в виде дробной степени. 
Вот простой пример: решим 2 неравенства
$1) 8 ^{frac{1}{x} } textgreater 2 \ 2) sqrt[x]{8} textgreater 2$
решением первого неравенства:
$8 ^{frac{1}{x} } textgreater 2 \ (2 ^{3} ) ^{frac{1}{3} } textgreater 2 \ 2 ^{ frac{3}{x} } textgreater 2^1 \ frac{3}{x} textgreater 1 \ \ frac{3}{x} -1 textgreater 0 \ \ frac{3-x}{x} textgreater 0$
решаем методом интервалов и получаем:
х∈(0;3)
для второго неравенства появляется ОДЗ:
если есть корень n-ой степени, то это самое число n может принимать ТОЛЬКО НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, КРОМЕ ЕДИНИЦЫ, так как корень 1-ой степени не существует.
то есть для нашего уравнения:
х∈{2;3;4;5;...}
$sqrt[x]{8} textgreater 2 \ (sqrt[x]{8}) ^{x} textgreater 2^x \ 8 textgreater 2^x \ 2 ^{3} textgreater 2^x \ 3 textgreater x \ x textless 3$
c учетом ОДЗ решением будет являться только число 2
ОТВ: х=2 

Answer 2

чаю тебе, спасибо