Question

Тупоугольный треугольник ABC вписан в окружность радиуса 8/√15. Известно, что длины сторон AB и AC равны соответственно 3 и 4. Найти периметр треугольника

Answer 1

Обозначим длину стороны AB за x (x ≥ 0). Вспомним формулу нахождения описанной около треугольника окружности через произведение сторон и площадь
$R = frac{AB cdot BC cdot AC}{4S_{Delta ABC}}$

$frac8{sqrt{15}} = frac{3 cdot 4 cdot x}{4S}$
$frac8{sqrt{15}} = frac{3 cdot x}{S}$
$8S=3xsqrt{15}$

Найдем площадь треугольника по формуле Герона
$S=sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}$, где $p=frac{AB+AC+BC}2$

$p=frac{3+4+x}2=frac{7+x}2$

$S=sqrt{frac{7+x}2(frac{7+x}2-3)(frac{7+x}2-4)(frac{7+x}2-x)}=$
$=sqrt{frac{7+x}2cdotfrac{1+x}2cdotfrac{x-1}2cdotfrac{7-x}2}=sqrt{(frac72+frac x2)(frac72-frac x2)(frac x2+frac12)(frac x2-frac12)}=$
$sqrt{(frac{49}4-frac{x^2}4)(frac{x^2}4-frac14)}=frac14sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}$

Подставим получившееся значение в первое уравнение
$8cdotfrac14sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}=3xsqrt{15}$
$2sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}=3xsqrt{15}$
$(2sqrt{(49-x^2)(x^2-1)})^2=(3xsqrt{15})^2$
$4(49-x^2)(x^2-1)=9xcdot15$
$196x^2-196-4x^4+4x^2=135x$
$200x^2-196-4x^4=135x$
$4x^4-65x^2+196=0$

Замена $x^2=t, t geq 0$

$4t^2-65t+196=0$
$D=65^2-4cdot4cdot196=4225-3136=1089=33^2$
$t_1=frac{65+33}{2cdot4}=12,25$
$t_2=frac{65-33}{2cdot4}=4$

Вернемся к замене
$1) x^2=12,25$
$x=pm3,5$
$2) x^2=4$
$x=pm2$
$x geq 0 Rightarrow x in {3,5; 2}$

Найдем больший угол треугольника по теореме косинусов
1) Стороны: 3; 4; 3,5
$[A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2 cdot BC cdot AB cdot cos angle B]$
$4^2 = 3,5^2 + 3^2 - 2 cdot 3,5 cdot 3 cdot cos angle B$
$16 = 12,25 + 9 - 21cos angle B$
$21cos angle B=5,25$
$cos angle B=0,25$
Значит ∠B < 90° ⇒ ΔABC - остроугольный. 

2) Стороны: 3; 4; 2
$[A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2 cdot BC cdot AB cdot cos angle B]$
$4^2 = 2^2 + 3^2 - 2 cdot 2 cdot 3 cdot cos angle B$
$16 = 4 + 9 - 12cos angle B$
$12cos angle B =-3$
$cos angle B =-0,25$
Значит ∠B > 90° ⇒ ΔABC - тупоугольный. 

По условию треугольник тупоугольный, значит AB = 2, а P = 3 + 4 + 2 = 9

Ответ: 9

Answer 2

b=3, c=4, R=8/√15, ∠C>90°.
Радиус: R=abc/4S,
Площадь ΔАВС: S=ah/2,
R=2abc/4ah=bc/2h ⇒ 
h=bc/2R=3·4·√15/(2·8)=0.75√15.
В тр-ке АВН ВН=√(с²-h²)=√(4²-(0.75√15)²)=2.75
В тр-ке АСН СН=√(b²-h²)=√(3²-(0.75√15)²)=0.75
a=BH-CH=2.
Периметр ΔАВС: Р=a+b+c=2+3+4=9 (ед) - это ответ.

Answer 3

Здесь неплохо бы объяснить, почему вы решили, что именно угол С тупой, а не, допустим, А. Без этого неполное решение.

Answer 4

Вообще- то это тот случай, когда рисунок вытекает из решения, а не наоборот. Уже понятно, что тр-ник имеет два решения а=ВН-СН=2 и а=ВН+СН=3.5, сторона "с" всё-равно больше, отсюда следует, что угол С должен быть тупым. Для наглядности, рядом можно было изобразить ещё и остроугольный треугольник, чтобы уж совсем разжевать.