Question

А9. Найдите произведение корней или корень, если он единственный, уравнения
log0,5(x2 − 15) + log4 4x2 = 0
Ответ с пояснениями, пожалуйста!

Answer 1

$log_{0,5}(x^2-15)+log_44x^2=0$

ОДЗ: 
$left{{{x^2-15 textgreater 0}atop{4x^2 textgreater 0}}right.left{{{x^2 textgreater 15}atop{x^2 textgreater 0}}right.left{{{x textgreater бsqrt{15}}atop{x textgreater sqrt{0}}}right.$
Конечный ОДЗ: $x textgreater бsqrt{15}$

$log_{0,5}(x^2-15)+2log_44x=0\log_{frac{1}{2}}(x^2-15)+log_{4^{frac{1}{2}}}4x=0\log_{frac{1}{2}}(x^2-15)+log_{2^{-1}}4x=0\log_{frac{1}{2}}(x^2-15)-log_{frac{1}{2}}4x=0\log_{frac{1}{2}}(x^2-15)=log_{frac{1}{2}}4x$

По определению логарифма, $x^2-15=(frac{1}{2})^{log_{frac{1}{2}}4x}$. 
$x^2-15=4x\x^2-4x-15=0\D=sqrt{(-4)^2-4*1*(-15)}=sqrt{16+60}=sqrt{76}=2sqrt{19}\x_1=frac{4+2sqrt{19}}{2}=2+sqrt{19}\x_2=frac{4-2sqrt{19}}{2}=2-sqrt{19}\x_1x_2=(2+sqrt{19})(2-sqrt{19})=2^2-(sqrt{19})^2=4-19=-15$
Ответ: произведение корней равно –15