Question

Вычисление определенных интеграллов
1) $intlimits^2_0 {3e^{frac{x}{2} }} , dx$
2) $intlimits^3_0 {x * sqrt{16 + x^2} }} , dx$
3) $intlimits^ pi _ frac{pi}{2} { frac{2sinx}{(1 - cosx)} }} , dx$
4) $intlimits^e_1 {x * lnx^e} , dx$

Желательно с подробным решением

Answer 1

1
6e^(x/2)|2-0=6e-6
2
t=x²+16
dt=2xdx
$intlimits^3_0 {(x sqrt{x^2+16} } , dx =1/2 intlimits { sqrt{t} } , dt =$$sqrt{t^3} /3=1/3* sqrt{(x^2+16)^3}|3-0= sqrt{25^3} /3=25*5/3=125/3$
3
t=1-cosx
dt=sinxdx
S[2sinx/(1-cosx)dx=2Sdt/t=2lnt=2ln(1-cosx)|π-π/2=2ln(1+1)-2ln(1-0)=
=2ln2-2ln1=2ln2-2*0=2ln2
4
u=lnx^e,du=edx/x
dv=xdx,v=x²/2
$intlimits^e_1 {x*lnx^e} , dx =x^2lnx^e/2-1/2 intlimits^e_1 {ex} , dx =$$x^2lnx^e/2-ex^2/4|e-1=e^3/2-e^3/4=e^3/4$

Answer 2

1) Шестёрка откуда взялась?

Answer 3

2) Откуда t^3?

Answer 4

4) du = edx/x, в решении 1/2Sexdx, куда делось деление?