Question

Решите, пожалуйста!
$sqrt{4x^2-x^4-x^3-x-1}$+$sqrt{cos(x)}$+abs(3-x)>=0

Answer 1

Такие нестандартные учебные уравнения или неравенства почти всегда решаются с помощью анализа различных свойств функций. В данном случае все функции неотрицательны. А значит для того чтобы неравенство выполнялось, достаточно чтобы все функции в нем были определены.
Проще - вся эта хрень в левой части НИКОГДА не будет меньше нуля. А значит нужно всего лишь найти ОДЗ и эта одз и будет решением.
оДЗ здесь задается системой:
$left { {{4x^2-x^4-x^3-x-1 geq 0} atop {cosx geq 0}} right.$
Разбираемс с первым неравенством. Разложим его на множители и применим метод интервалов. Разложение распишу подробно.
$4x^2-x^4-x^3-x-1 geq 0\ x^4+x^3-4x^2+x+1 leq 0 \ x^4-x^3+2x^3-2x^2-2x^2+2x-(x-1) leq 0 \ x^3(x-1)+2x^2(x-1)-2x(x-1)-(x-1) leq 0 \ (x-1)(x^3+2x^2-2x-1) leq 0 \ (x-1)(x^3-x^2+3x^2-3x+x-1) leq 0 \ (x-1)(x^2(x-1)+3x(x-1)+(x-1)) leq 0 \ (x-1)^2(x^2+3x+1) leq 0 \ (x-1)^2(x- frac{ sqrt{5}+3 }{2} )(x+ frac{ sqrt{5}+3 }{2}) leq 0$
Метод интервалов дает нам промежуток:
$[- frac{3+ sqrt{5} }{2} ; frac{ sqrt{5} -3}{2} ]$
Теперь надо пересечь его с решением второго неравенства системы:
$[- frac{ pi }{2} +2 pi n; frac{ pi }{2} +2 pi n]$
Это конечно жесть, да. Для начала сравним числа pi/2 и (√5-3)/2.
Я не буду полностью расписывать, методы сравнения можно загуглить. Получаем что pi/2>(√5-3)/2. Теперь сравним -pi/2  и -(3+√5)/2. Здесь получим что -pi/2<-(3+√5)/2. А вот теперь уже спокойно пересекаем множества решений, дополнительно отмечаем точку x=1 и получаем решение основного неравенства:
[-pi/2; (√5-3)/2] ∪ {1}
Фууух